DAMARIS GRIMALDO MARTINEZ: FUNCIONES REALES

En matemáticas, una función,^[1] aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

$f \colon X \to Y \,$

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento $x\in X$ con un (y sólo un) $y\in Y$ se denota $f(x)=y\,$ , en lugar de $(x,y)\in f.$
Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, $\forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.$

Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si $(x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.$

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por ${\rm dom}(f)\,$ o ${\rm dom}_f\,$ . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

${\rm codom}(f)\,$ o $codom f$

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por ${\rm im}(f)\,$ o ${\rm im}_f\,$ o $f(X)\,$ .

$Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Una preimagen de un $y \in Y$ es algún $x\in X$ tal que $f(x)=y\,$ .
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

La función definida por $f(x)=x+1\,$ , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales $(\mathbb{R}).$

Función con Dominio X y Rango Y

Para la función $g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ tal que $g(x)=x^2\,$ , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a $\mathbb{R}$ , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞.